こんにちは。
ご指摘のサイトは、非常によくカスタマイズされていると思います。
仰るとおり、発送・支払ページ wc_templates/cart/wc_delivery_page.php
にあるカスタム・オーダーフィールドの表示部分をカートページに持ってくることで、実現できるかと思います。
テーマは Welcart Voll
をお使いいただいているとのことですので、親テーマの Welcart Basic
より カートページ wc_templates/cart/wc_cart_page.php
をコピーして設置してから、編集してください。